Optimal control and the Fibonacci sequence

Abstract

We bridge mathematical number theory with that of optimal control and show that a generalised Fibonacci sequence enters the control function of finite horizon dynamic optimisation problems with one state and one control variable. In particular, we show that the recursive expression describing the first-order approximation of the control function can be written in terms of a generalised Fibonacci sequence when restricting the final state to equal the steady state of the system. Further, by deriving the solution to this sequence, we are able to write the first-order approximation of optimal control explicitly. Our procedure is illustrated in an example often referred to as the Brock-Mirman economic growth model. Keywords: Fibonacci sequence, Golden ratio, Mathematical number theory, Optimal control. AMS classification: 11B39, 93C55, 37N40. -----Sammendrag: Vi bygger en bro mellom tallteori og optimal kontrollteori ved å vise at en generalisert Fibonaccirekke inngår i kontrollfunksjonen tilhørende et generelt dynamisk optimeringsproblem, formulert over endelig tid og med én kontroll og én tilstandsvariabel. Det blir vist at den lineære approksimasjonen av kontrollfunksjonen kan skrives ut ifra den generaliserte Fibonacci-rekken når man betinger tilstandsvariabelen i siste periode til å nå systemets likevekt. Ved å utlede løsningen til den generelle Fibonacci-rekken kan den lineære approksimasjonen av den optimale kontrollfunksjonen skrives eksplisitt. Det hele illustreres i et eksempel fra økonomisk teori som ofte blir omtalt som Brock- Mirman modellen.